おもしろい台形の話

こんなツイートを見かけました．

不思議な台形を見つけました！ pic.twitter.com/yjpzvUYpwA
— ポテト一郎🥔 (@potetoichiro) 2022年10月8日

要するに，台形の面積が上底と下底を文字列的に繋いだものと一致する場合があって面白いねっていう話です．面白そうと思って適当にスクリプトを書いて探してみたら結構たくさんあったのですが，「何か法則的なのない？」と思っていろいろと試したら次のようなパターンが見つかりました．

これをベースとして，上底の頭に3をつけ，下底(=高さ)の頭に6をつけます．そうすると，以下のように条件を満たす台形になりました．

もしや…！と思って同じ操作を行うと，やっぱりできました！！

これ，たまたまかなーとも思ったのですが，意外と簡単な計算でこの規則が成り立つことがわかったので，記念に書き残しておきます．n桁の上底を

$a_n=\frac{10^{n} - 1}{3}+1$

と表すことができます．下底(=高さ)の方はちょうど上底の2倍の長さなので，

$b_n=2a_n$

となります．このときの面積は，

$( a_n + b_n ) \times b_n \times \frac{1}{2} \\ = ( a_n + 2a_n ) \times 2a_n \times \frac{1}{2} \\ = 3a_n \times a_n$

となります．ここからさらに

$3a_n \times a_n \\ =a_n \times 3a_n \\ =a_n \times 3 ( \frac{10^{n} - 1}{3} + 1 ) \\ =a_n ( 10^{n} - 1 + 3 ) \\ =a_n ( 10^{n} + 2 ) \\ =a_n \times 10^{n} + 2a_n \\ =a_n \times 10^{n} + b_n$

となり，おお！これは何桁でも増やせる！！うれしい！！！となりました．まあ何の役にも立たなさそうですが，こういうのが見つかるとなんか嬉しいですよね😉

上底が3333333333333334，下底と高さが6666666666666668の台形

カメヲラボ

主にプログラミングとお勉強全般について書いてます

おもしろい台形の話